Question

如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知，，．

（1）求证：平面；
（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面？

Answer 1

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）要证明平面，只需在平面内找一条直线与平行，如果不容易直接找到，可以将平移到平面内，平移直线的方法一般有①中位线平移；②平行四边形对边平行平移；③成比例线段平移，该题连接交于，连接，可证，从而∥，进而可证平面；（2）该题主要是如何分析得到的位置，然后再证明，由已知可得平面平面，进而可证平面，故ADCM，只需有，则CM平面，从而平面平面，那么如何保证呢？在矩形中，只需，则
，则，所以，倒过来，再证明平面平面即可.
试题解析：（1）连接交于，连接，因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，，从而OF//C₁E，OF面ADF，平面，所以平面；
（2）当BM=1时，平面平面．
在直三棱柱中，由于平面ABC，BB₁平面B₁BCC₁，所以平面B₁BCC₁平面ABC，由于AB=AC，是中点，所以，又平面B₁BCC₁∩平面ABC=BC，所以AD平面B₁BCC₁， 而CM平面B₁BCC₁，于是ADCM，因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以≌，所CMDF，
DF与AD相交，所以CM平面，CM平面CAM，所以平面平面，∴当BM=1时，平面平面．