【题目】已知函数是定义在
上的奇函数,且当
时,
,则对任意
,函数
的零点个数至多有( )
A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个
【答案】A
【解析】当时
,由此可知
在
上单调递减,在
上单调递增,
,
且
,数
是定义在
上的奇函数,
,而
时,
,所以
的图象如图,令
,则
,由图可知,当
时方程
至多3个根,当
时方程
没有根,而对任意
,
至多有一个根
,从而函数
的零点个数至多有3个.
点晴:本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处理.也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
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【题目】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M和N分别为BC、C1C的中点,那么异面直线MN与AC所成的角等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
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【题目】函数f(x)= sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)对任意x∈R,都有f(﹣x)+f(x)=0,f(x)+f(x+
)=0,则f(
)=( )
A.0
B.1
C.
D.2
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【题目】设向量 =(sinx,cosx),
=(cosx,sinx),x∈R,函数f(x)=
(
﹣
).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)当x∈[- ,
]时,求函数f(x)的值域.
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【题目】某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示:
(1)依据频率分布直方图,估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;
(2)已知在[90,100]段的学生的成绩都不相同,且都在94分以上,现用简单随机抽样方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中任取2个数,求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.
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【题目】有以下四种变换方式:
① 向左平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的
;
② 向右平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的
;
③ 每个点的横坐标缩短为原来的,向右平移
个单位长度;
④ 每个点的横坐标缩短为原来的,向左平移
个单位长度;
其中能将的图像变换成函数
的图像的是( )
A.①和③ B.①和④ C.②和④ D.②和③
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)证明:AE⊥平面PCD;
(3)求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值.
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