Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增，若实数a满足f（log₂a）+f（log 

1

2

a）≤2f（1），则a的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，+∞）
• B、[

  1

  2

  ，0）
• C、[

  1

  2

  ，2]
• D、（0，2]

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：由偶函数的性质将不等式转化为：f（log₂a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范．

解答： 解：∵函数f（x）是偶函数，
∴f（log₂a）+f（log 

1

2

a）≤2f（1）等价为f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
即2f（log₂a）≤2f（1），
则f（log₂a）≤f（1），
即f（|log₂a|）≤f（1），
∵函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
所以|log₂a|≤1，解得

1

2

≤a≤2，
则a的取值范围是[

1

2

，2]，
故选：C

点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．