Question

7．若幂函数f（x）的图象经过点（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），则函数g（x）=$\sqrt{x}$+f（x）在[$\frac{1}{2}$，3]上的值域为（　　）

• A． [2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]
• B． [2，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]
• C． （0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 根据幂函数f（x）的图象过点（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），求出f（x）的解析式，再求出g（x）的解析式，计算g（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，3]上的最值即可．

解答 解：设f（x）=x^α，
∵f（x）的图象过点（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴3^α=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得α=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=${x}^{-\frac{1}{2}}$；
∴函数g（x）=$\sqrt{x}$+f（x）=$\sqrt{x}$+${x}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
当x∈[$\frac{1}{2}$，3]时，在x=1时，g（x）取得最小值g（1）=2，
在x=3时，g（x）取得最大值g（3）=$\sqrt{3}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴函数g（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，3]上的值域是[2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]．
故选：A．

点评 本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题以及求函数的值域的应用问题，是基础题目．