Question

20．设数列{a_n}是公差为1的等差数列，数列{b_n}是公比为2的等比数列，且a₁+b₂=6，a₄-b₁=3．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列$\{{a_n}+\frac{1}{b_n}\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）由等差数列和等比数列通项公式列出方差组，求出等差数列和等比数列的首项，由此能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（II）由${a_n}+\frac{1}{b_n}=n+1+\frac{1}{2^n}$，利用分组求和法能求出数列$\{{a_n}+\frac{1}{b_n}\}$的前n项和S_n．

解答 解：（I）∵数列{a_n}是公差为1的等差数列，
数列{b_n}是公比为2的等比数列，且a₁+b₂=6，a₄-b₁=3．
由已知，得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+2{b_1}=6}\\{（{a_1}+3）-{b_1}=3}\end{array}}\right.$…（2分）
解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=2}\\{{b_1}=2}\end{array}}\right.$…（4分）
∴a_n=n+1，${b_n}={2^n}$…（6分）
（II）由（Ⅰ）得${a_n}+\frac{1}{b_n}=n+1+\frac{1}{2^n}$…（2分）
所以${S_n}=[2+3+4+5+…+（n+1）]+（\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}）$…（4分）
=$\frac{（2+n+1）n}{2}+\frac{{\frac{1}{2}（1-{{（\frac{1}{2}）}^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}$
=$\frac{{{n^2}+3n+2}}{2}-\frac{1}{2^n}$．…（7分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质及分组求和法的合理运用．