Question

20．如图，已知不共线的两个单位向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的夹角为120°，点C在线段AB上，设向量$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R）．
（1）试求x、y满足的关系式；
（2）延长OC至点D，使|$\overrightarrow{OD}$|=1，记$\overrightarrow{OD}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（λ，μ∈R），求λ+μ的最大值．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示出$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$，根据A，B，C三点共线得出$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$．根据向量的基本定理得出x，y的关系；
（2）计算出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，对$\overrightarrow{OD}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$两边平方得到λ，μ的关系，利用基本不等式得出λ+μ的最大值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（x-1）$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
∵A，B，C三点共线，∴存在λ≠0使得$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）λ=-1}\\{yλ=1}\end{array}\right.$，两式相加得（x-1）λ+yλ=0，∵λ≠0，∴x+y=1．
（2）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cos120°=-$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{OD}$²=（λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$）²=λ²+μ²-$\frac{1}{2}λμ$=1．∴λ²+μ²=1+$\frac{1}{2}λμ$≥2λμ，∴λμ≤$\frac{2}{3}$．
∴（λ+μ）²=λ²+μ²+2λμ=1+$\frac{5}{2}λμ$≤$\frac{8}{3}$．
∴λ+μ的最大值为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，基本不等式的应用，属于基础题．