Question

已知函数f（x）=sin²wx+

3

sinwx•coswx-1（w＞0）的周期为π．
（1）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的取值范围；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简f（x）的函数解析式，根据已知和周期公式可求ω的值，由x的取值范围，根据正弦函数的图象和性质即可求f（x）的取值范围；
（2）由f（x）的解析式，根据正弦函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递减区间．

解答： 解：（1）f（x）=sin²wx+

3

sinwx•coswx-1=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-1=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

∵w＞0，周期为π，即T=

2π

2ω

=π
∴可解得：ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

∵x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，从而可求得f（x）的取值范围为[-1，

1

2

]．
（2）∵令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，可解得：kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．