Question

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，函数图象上的点都在，所表示的平面区域内，不等式恒成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）单调递增区间为；单调递减区间为；（2）实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）根据条件，可以利用导数来求函数的单调区间，当时，，，

由，解得，由，解，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）根据不等式恒成立的条件，可知问题等价于当时，不等式，构造函数，则只需，将且转化为求函数的最大值问题解决，利用导数判断函数单调性后利用单调性求出最大值即可得证 .

试题解析：（1）当时，，，

由，解得，由，解，

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

函数图象上的点都在所表示的平面区域内，

则当时，不等式恒成立，即恒成立，

设，只需即可．

由，

（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，

故成立，

（ⅱ）当时，由，∵，∴，

①若，即时，在区间上，，

则函数在上单调递增，在上无最大值（或：时，），此时不满足条件；

②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件；

（ⅲ）当时，由，∵，∴，

∴，故函数在上单调递减，故成立，

综上所述，实数的取值范围是.

考点：利用导数判断函数单调性求函数极值.