Question

2．已知函数f（x）=x-1-alnx（a＜0），g（x）=$\frac{4}{x}$，若对任意x₁，x₂∈（0，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|g（x₁）-g（x₂）|成立，则实数a的取值范围为[-3，0）．

Answer 1

分析 确定函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，函数g（x）在（0，1]上是减函数，设h（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=x-1-alnx+$\frac{4}{x}$，则|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数，从而可求实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），则当a＜0时，f′（x）=1-$\frac{a}{x}$＞0恒成立，
此时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又函数g（x）=$\frac{4}{x}$，在（0，1]上是减函数
不妨设0＜x₁≤x₂≤1，
则|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），|g（x₁）-g（x₂）|=$\frac{4}{{x}_{1}}$-$\frac{4}{{x}_{2}}$，
则不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤|g（x₁）-g（x₂）|等价为|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，
即f（x₂）+$\frac{4}{{x}_{2}}$≤f（x₁）+$\frac{4}{{x}_{1}}$
设h（x）=f（x）+$\frac{4}{x}$=x-1-alnx+$\frac{4}{x}$，
则|f（x₁）-f（x₂）|≤4|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数
∵h′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-ax-4}{{x}^{2}}$，
∴x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-$\frac{4}{x}$在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-$\frac{4}{x}$在（0，1]内的最大值．
而函数y=x-$\frac{4}{x}$在（0，1]是增函数，∴y=x-$\frac{4}{x}$的最大值为-3
∴a≥-3，
又a＜0，∴a∈[-3，0）．
故答案为：[-3，0）．

点评 本题考查不等式恒成立问题，考查函数的单调性，函数的最值问题，以及导数的应用，综合性较强，难度较大，是一道综合题．