Question

函数f（x）=x³-3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的减区间是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：根据函数f（x）=x³-3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，求导f′（x）=0，求得该函数的极值点x₁，x₂，并判断是极大值点x₁，还是极小值点x₂，代入f（x₁）=6，f（x₂）=2，解方程组可求得a，b的值，再由f′（x）＜0即可得到．

解答： 解：：令f′（x）=3x²-3a=0，得x=±

a

，
令f′（x）＞0得x＞

a

或x＜-

a

；令f′（x）＜0得-

a

＜x＜

a

．
即x=-

a

取极大，x=

a

，取极小．
∵函数f（x）=x³-3ax+b（a＞0）的极大值为6，极小值为2，
∴f（

a

）=2，f（-

a

）=6，
即a

a

-3a

a

+b=2且-a

a

+3a

a

+b=6，
得a=1，b=4，
则f′（x）=3x²-3，由f′（x）＜0得-1＜x＜1．
则减区间为（-1，1）．
故答案为：（-1，1）．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，以及函数的单调区间，考查解方程的运算能力，属于基础题．