Question

5．已知椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，双曲线C₂的左、右焦点分别是C₁的左、右顶点，而以双曲线C₂的左、右顶点分别是椭圆C₁的左、右焦点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C₂相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2$\sqrt{2}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设双曲线的方程，由双曲线的性质，即可求得a和b的方程，即可求得双曲线的方程；
（2）设直线l的方程，代入双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得丨EF丨，利用三角形的面积公式，即可求得k的值，求得直线l的方程．

解答 解：（1）设双曲线C₂的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
则c²=4，a²=4-2=2，由a²+b²=c²，则b²=2，
故双曲线C₂的方程：$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由题意可知：设直线l的方程y=kx+2，则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1-k²）x²-4kx-6=0，
直线l与双曲线相交于不同两点E，F，
则$\left\{\begin{array}{l}{1-{k}^{2}≠0}\\{△=（-4k）^{2}+4×6×（1-{k}^{2}）＞0}\end{array}\right.$，解得-$\sqrt{3}$＜k＜-1或1＜k＜$\sqrt{3}$，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₁），则x₁+x₂=$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1-{k}^{2}}$，
则丨EF丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3-{k}^{2}}}{丨1-{k}^{2}丨}$，
原点O到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则△OEF的面积S=$\frac{1}{2}$×d×丨EF丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3-{k}^{2}}}{丨1-{k}^{2}丨}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3-{k}^{2}}}{丨1-{k}^{2}丨}$，
由S=2$\sqrt{2}$，则$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{3-{k}^{2}}}{丨1-{k}^{2}丨}$=2$\sqrt{2}$，整理得：k⁴-k²-2=0，
解得：k=$±\sqrt{2}$，
满足-$\sqrt{3}$＜k＜-1或1＜k＜$\sqrt{3}$，
故满足条件的直线l有两条，其方程为y=$\sqrt{2}$x+2或y=-$\sqrt{2}$x+2．

点评 本题考查椭圆的性质，双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．