Question

15．已知函数y=f（x）在定义域$（{-\frac{3}{2}，3}）$上可导，其图象如图，记y=f（x）的导函数y=f′（x），则不等式xf′（x）≤0的解集是[0，1]∪（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由图象得到函数的单调区间，得到函数在个区间上导函数的符号，求出不等式的解．

解答 解：由f（x）的图象知x∈（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）时，递增，f′（x）＞0；xf′（x）≤0?x≤0，
∴x∈（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）
x∈（-$\frac{1}{2}$，1）时，f（x）递减，f′（x）＜0，∴xf′（x）≤0?x≥0，∴x∈[0，1]
x∈（1，3）时，f（x）递增，f′（x）＞0，∴xf′（x）≤0?x≤0无解
故答案为：[0，1]∪（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查函数的单调性与导函数符号的关系：f′（x）＞0则f（x）递增；f′（x）＞0则f（x）递减．考查数形结合的数学数学方法．