Question

4．已知实数a＞0，关于x、y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x≤a}\\{y+a≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域为D，若在平面区域D内存在点P（x₀，y₀），满足3x₀-4y₀=5，则a的最小值为$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x₀，y₀）满足3x₀-4y₀=5，则平面区域内必存在一个点在直线3x-4y=5的下方，由图象可得a的取值范围，即可求出a的最小值．

解答 解：作出不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（m，-m），
直线3x-4y=5的斜率为$\frac{3}{4}$，斜截式方程为$y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{4}$，
要使平面区域内存在点P（x₀，y₀）满足3x₀-4y₀=5，
则点C（a，-a）必在直线3x₀-4y₀=5的下方，
即-a$≤\frac{3}{4}a-\frac{5}{4}$，解得a$≥\frac{5}{7}$．
故m的最小值为$\frac{5}{7}$．
故答案为：$\frac{5}{7}$．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．