Question

2．以椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2：1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{4}{9}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 依据题意先求出椭圆的右焦点坐标、右准线方程，以及圆的半径，利用圆被椭圆的右准线分成弧长为2：1的两段弧，构造直角三角形，利用直角三角形中的边角关系求出离心率．

解答 解：椭圆的右焦点F（c，0），右准线为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，圆的半径为c，
圆与右准线的两个交点A，D两点的横坐标为$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∵圆被椭圆的右准线分成弧长为2：1的两段弧，∴∠AFD=120°，
∴△OAD是正三角形，由FA=FD，及∠AFD=120°，
构造直角三角形，利用边角关系得：
cos60°=$\frac{1}{2}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{c}-c}{c}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的标准方程和简单性质，利用直角三角形中的边角关系求出离心率．