Question

【题目】如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形， ， ， ，四边形为正方形，平面平面.

（1）若点是棱的中点，求证： 平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】试题分析：

（1）要证线面平行，一般先证线线平行，由是中点及其他已知可证与平行且相等，从而得平行四边形，也就有线线平行，从而得线面平行；

（2）由已知证得两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平行的法向量，由直线的方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值可得结论．

试题解析：

（1）证明：由已知得// ，且.

因为为等腰梯形，所以有// .

因为是棱的中点，所以．

所以// ，且，

故四边形为平行四边形,

所以// .

因为平面， 平面，

所以//平面．

解：（2）因为四边形为正方形，所以.

因为平面平面，

平面平面， 平面，

所以平面.

在△中，因为， ，

所以由余弦定理，得，

所以．

在等腰梯形中，可得.

如图，以为原点，以所在直线分别为

轴， 建立空间坐标系，

则， ， ， ， ，

所以， ， .

设平面的法向量为，由

所以，取，则，得．

设直线与平面所成的角为，

则

所以与平面所成的角的正弦值为.