Question

1．两会结束后，房价问题仍是国民关注的热点问题，某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能力（如能买每平方米6千元的房子即承受能力为6千元）的调查作为社会实践，进行调查统计，将承受能力数据按区间[2.5，3.5），[3.5，4.5），[4.5，5.5），[5.5，6.5），[6.5，7.5]（千元）进行分组，得到如下统计图：
（1）求a的值，并估计该城市居民的平均承受能力是多少元；
（2）若用分层抽样的方法，从承受能力在[3.5，4.5）与[5.5，6.5）的居民中抽取5人，在抽取的5人中随机取2人，求2人的承受能力不同的概率．

Answer 1

分析 （1）根据各组的累积频率为1，构造关于a的方程，解方程可得a的值，累加每组组中值与频率的积，可估算出该城市居民的平均承受能力是多少元；
（2）先计算出在抽取的5人中随机取2人的情况种数，再计算出2人的承受能力不同的情况种数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．

解答 解：（1）由各组的累积频率为1，
可得：0.1+0.1+0.14+0.45+a=1，
所以a=0.21，（2分）
平均承受能力$\overline x=3×0.1+4×0.14+5×0.45+6×0.21+7×0.1=5.07$，
即城市居民的平均承受能力大约为5070元；                  （5分）
（2）用分层抽样的方法在这两组中抽5人，
即[3.5，4.5）组中抽2人与[5.5，6.5）抽3人，
设[3.5，4.5）组中两人为A₁，A₂，[5.5，6.5）组中三人为B₁，B₂，B₂，
从这5人中随机取2人，有
A₁A₂，A₁B₁，A₁B₂，A₁B₃，A₂B₁，
A₂B₂，A₂B₃，B₁B₂，B₁B₃，B₂B₃共10中，
符合两人承受能力不同的有
A₁B₁，A₁B₂，A₁B₃，A₂B₁，A₂B₂，A₂B₃共6中，
所以所求概率为$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．（12分）

点评 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，频率分布直方图，是统计和概率的综合应用，难度不大，属于基础题．