Question

10．定义域为（0，+∞）的连续可导函数f（x），若满足以下两个条件：
①f（x）的导函数y=f′（x）没有零点，
②对?x∈（0，+∞），都有f（f（x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x）=3．
则关于x方程f（x）=2+$\sqrt{x}$有（　　）个解．

• A． 2
• B． 1
• C． 0
• D． 以上答案均不正确

Answer 1

分析 由已知可得f（x）=log₂x+2，在同一坐标系中画出f（x）=log₂x+2和y=2+$\sqrt{x}$的图象，数形结合可得答案．

解答 解：由②对?x∈（0，+∞），都有f（f（x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x）=3．
可得f（x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x为常数，
令k=f（x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x，
则f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x+k=log₂x+k，
则log₂k+k=3，
解得：k=2，
故f（x）=log₂x+2，
经检验满足条件，
在同一坐标系中画出f（x）=log₂x+2和y=2+$\sqrt{x}$的图象，如下图所示：

由图可得：两个函数图象有两个交点，
故关于x方程f（x）=2+$\sqrt{x}$有2个解．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，难度中档．