Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax+1，x≥1}\\{a{x}^{2}+x+1，x＜1}\end{array}\right.$在R上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 通过x的范围，利用函数的解析式以及函数的单调性，推出a的不等式求解即可．

解答 解：当x≥1时，f（x）为增函数，∴$-\frac{a}{2}≤1$，可得a≥-2．
又当x＜1时f（x）为增函数，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-\frac{1}{2a}≥1}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{2}≤a＜0$．当a=0时，函数是增函数，
又f（x）在R上增函数，∴1²+a×1+1≥a×1²+1+1，可得a∈R，
综上所述：$-\frac{1}{2}≤a≤0$．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查计算能力．