Question

15．已知函数f（x）=x²+bx+c满足f（0）=0，且f（-1-x）=f（x），令g（x）=f（x）-|x-1|．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出b，c即可推出函数的解析式．
（2）g（x）=f（x）-|x-1|表示为分段函数的形式，然后求解最小值．

解答 （1）解：∵f（0）=0，∴c=0．…（2分）
∵对于任意x∈R都有，f（-1-x）=f（x）
∴函数f（x）的对称轴为$x=-\frac{1}{2}$，即b=1．…（4分）
∴f（x）=x²+x．----（6分）
（2）$g（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+1（x≥1）}\\{{x^2}+2x-1（x＜1）}\end{array}}\right.$-------（8分）
当x≥1时  g（x）=x²+1 函数的最小值为2
当x＜1时  g（x）=x²+2x-1 函数的最小值为1-------（11分）
所以函数的最小值为1-------------（12分）

点评 本题考查二次函数的性质，函数的解析式的求法，分段函数的应用，考查计算能力．