Question

20．已知函数f（x）=x²+2x
（1）若x∈[-2，a]，a＞-2时，求f（x）的值域；
（2）若存在实数t，当x∈[1，m]，m＞1时，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．
（提示：当x∈[a，b]时f（x）≤k恒成立，则f（x）_max≤k；存在x∈[a，b]使得f（x）≤k，则f（x）_min≤k）

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质即可，分类讨论，即可求f（x）的值域；
（2）将不等式恒成立进行转化为求函数的最值即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+2x的对称轴为x=-1，
当-2＜a＜1时，函数f（x）在[-2，a]上单调递减，f（x）_min=f（a）=a²+2a，f（x）_max=f（2）=8，此时函数的值域为[a²+a，8]；
当-1≤a≤0时，函数f（x）在[-2，-1]上单调递减，在[-1，a]上单调递增，f（x）_min=f（-1）=-1，f（x）_max=f（2）=8，此时函数的值域为[-1，8]；
当a＞0时，函数f（x）在[-2，-1]上单调递减，在[-1，a]上单调递增，f（x）_min=f（-1）=-1，f（x）_max=f（a）=a²+2a，此时函数的值域为[-1，a²+a]；
（2）由f（x+t）≤3x恒成立得：x²+（2t-1）x+t²+2t≤0恒成立，
令u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，x∈[1，m]，
∵抛物线的开口向上，
∴u（x）的最大值为max{u（1），u（m）}，
由u（x）≤0恒成立知：$\left\{\begin{array}{l}{u（1）≤0}\\{u（m）≤0}\end{array}\right.$，
化简得：$\left\{\begin{array}{l}{-4≤t≤0}\\{{t}^{2}+2（1+m）t+{m}^{2}-m≤0}\end{array}\right.$，
令g（t）=t²+2（1+m）t+m²-m，
则原题可转化为：存在t∈[-4，0]，使得g（t）≤0，
即：当t∈[-4，0]，g（t）_min≤0，
∵m＞1，g（t）的对称轴：t=-1-m＜-2，
①若-1-m＜-4，即m＞3时，g（t）_min=g（-4）=16-8（1+m）+m²-m≤0，
解得3＜m≤8，
②当-4≤-1-m≤-2，
即：1＜m≤3时，g（t）_min=g（-1-m）=-1-3m≤0，
解得1＜m≤3，
综上：m的取值范围为：（1，8]

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数恒成立问题，考查学生的分析能力，综合性较强，运算量较大．