Question

13．设函数f（x）满足：
①对任意实数m，n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）?f（n）；
②对任意m∈R，都有f（1+m）=f（1-m）恒成立；
③f（x）不恒为0，且当0＜x＜1时，f（x）＜1．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并给出你的证明；
（3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数g（x）定义域中的任意一个x，均有g（x+T）=g（x），则称g（x）为以T为周期的周期函数”．试证明：函数f（x）为周期函数，并求出$f（\frac{1}{3}）+f（\frac{2}{3}）+f（\frac{3}{3}）+…+f（\frac{2017}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）在等式f（m+n）+f（m-n）=2f（m）?f（n）中，令m=x₀，n=0，即可求得f（0）=1，结合f（m+n）+f（m-n）=2f（m）?f（n）、f（1+m）=f（1-m）、f（x）不恒为0，且当0＜x＜1时，f（x）＜1即可求得f（1）的值；
（2）在f（m+n）+f（m-n）=2f（m）?f（n）中，取m=0，n=x，以及有f（0）=1，可得函数f（x）为偶函数；
（3）由f（1+m）=f（1-m），并取1+m=-x，得f（-x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，可得f（x+2）=f（x），即f（x）是以2为周期的周期函数；
在f（m+n）+f（m-n）=2f（m）?f（n）中，取$m=n=\frac{1}{3}$，取m=$\frac{2}{3}$，n=$\frac{1}{3}$得到两个关于f（$\frac{2}{3}$）和f（$\frac{1}{3}$）的方程组，求出f（$\frac{2}{3}$）和f（$\frac{1}{3}$），再由函数的周期性求得$f（\frac{1}{3}）+f（\frac{2}{3}）+f（\frac{3}{3}）+…+f（\frac{2017}{3}）$的值．

解答 （1）解：由于f（x）不恒为0，故存在x₀，使f（x₀）≠0，令m=x₀，n=0，
则f（x₀）+f（0）=2f（x₀）f（0），∴f（0）=1，
令m=n=1⇒f（2）+f（0）=2f²（1），
由f（1+m）=f（1-m）并令m=1得：f（2）=f（0），
结合以上结果可得f²（1）=1，
又令$m=n=\frac{1}{2}，f（1）+f（0）=2f（\frac{1}{2}）?f（\frac{1}{2}）＜2$  （因为$f（\frac{1}{2}）＜1$），
∴f（1）＜1，故f（1）=-1；
（2）解：f（x）为偶函数．
证明如下：
令m=0，n=x，得：f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），以及有f（0）=1，
即有f（-x）=f（x），即有f（x）为偶函数；
（3）证明：由f（1+m）=f（1-m），并取1+m=-x，得f（-x）=f（2+x），又f（x）为偶函数，
则f（x+2）=f（x），即f（x）是以2为周期的周期函数；
令$m=n=\frac{1}{3}⇒f（\frac{2}{3}）+f（0）=2{f}^{2}（\frac{1}{3}）⇒f（\frac{2}{3}）+1=2{f}^{2}（\frac{1}{3}）$，
再令m=$\frac{2}{3}$，n=$\frac{1}{3}$⇒$f（1）+f（\frac{1}{3}）=2f（\frac{2}{3}）f（\frac{1}{3}）$⇒$-1+f（\frac{1}{3}）=2f（\frac{2}{3}）f（\frac{1}{3}）$．
而$f（\frac{2}{3}）＜1$，解得，$f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}，f（\frac{2}{3}）=-\frac{1}{2}$，
由f（1+m）=f（1-m）得，$f（\frac{1}{3}）=f（\frac{5}{3}），f（\frac{2}{3}）=f（\frac{4}{3}）$，
∴$f（\frac{1}{3}）+f（\frac{2}{3}）+f（\frac{3}{3}）+f（\frac{4}{3}）+f（\frac{5}{3}）+f（\frac{6}{3}）=0$，
又由于f（x）是以2为周期的周期函数，
∴$f（\frac{1}{3}）+f（\frac{2}{3}）+f（\frac{3}{3}）+…+f（\frac{2017}{3}）=336×0+f（\frac{2017}{3}）=f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数奇偶性和周期性的定义判断函数的性质是解决本题的关键，是中档题．