Question

14．已知函数$f（x）=\frac{{{e^{2x}}-{e^x}sinx+1}}{{{e^{2x}}+1}}$的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由f（x）=1+$\frac{{e}^{x}sinx}{1+{e}^{2x}}$，令g（x）=$\frac{{e}^{x}sinx}{1+{e}^{2x}}$，x∈R，判断g（x）为奇函数，其最值之和为0，即可得到所求和．

解答 解：函数$f（x）=\frac{{{e^{2x}}-{e^x}sinx+1}}{{{e^{2x}}+1}}$
=1+$\frac{{e}^{x}sinx}{1+{e}^{2x}}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}sinx}{1+{e}^{2x}}$，x∈R，
则g（-x）=$\frac{{e}^{-x}sin（-x）}{1+{e}^{-2x}}$=$\frac{{e}^{x}（-sinx）}{{e}^{2x}+1}$=-g（x），
可得g（x）为奇函数，
由奇函数的图象关于原点对称，可得g（x）的最大值A和最小值a之和为0，
则M+m=（A+1）+（a+1）=（A+a）+2=2．
故选：C．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用转化思想和构造函数法，运用奇函数的图象关于原点对称，其最值之和为0是解题的关键，属于中档题．