Question

4．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A-BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为$\frac{1}{4}$，二面角B-AC-D的余弦值为$-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，得到几何体侧视图的形状，求出三角形边长，代入三角形面积公式求得侧视图的面积；再找出二面角B-AC-D的平面角，求解三角形可得二面角B-AC-D的余弦值．

解答 解：由三视图可得原几何体如图，

该三棱锥的侧面ABD与底面CBD是全等的等腰直角三角形，且平面ABD⊥底面CBD，
过A作AO⊥BD，垂足为O，连接CO，则侧视图为等腰直角三角形AOC，
∵AO=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴${S}_{△AOC}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}$；
取AC的中点G，连接BG，DG，则∠BGD为二面角B-AC-D的平面角．
∵△ADC、△ABC是边长为1的正三角形，∴$BG=DG=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在△BGD中，由余弦定理可得：cos∠BGD=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=-$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{4}，-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．