Question

13．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的上顶点为A，直线y=kx与椭圆交于B，C两点，且k_AB•k_AC=-$\frac{3}{4}$，则此椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设出B，C坐标，代入椭圆方程，利用直线的斜率关系，转化求解椭圆的离心率即可．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的上顶点为A（0，b），直线y=kx与椭圆交于B，C两点，
设B（m，n），则C（-m，-n），k_AB•k_AC=-$\frac{3}{4}$，$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，n=km．n²=$\frac{{{b}^{2}a}^{2}-{{b}^{2}m}^{2}}{{a}^{2}}$，
可得：$\frac{n-b}{m}•\frac{-n-b}{-m}=-\frac{3}{4}$，
即：$\frac{{n}^{2}-{b}^{2}}{{m}^{2}}=-\frac{3}{4}$，
可得：$\frac{\frac{{b}^{2}{a}^{2}-{b}^{2}{m}^{2}}{{a}^{2}}-{b}^{2}}{{m}^{2}}$=$-\frac{3}{4}$，
可得：$-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{3}{4}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，
解得e=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，直线的斜率的求法，注意直线以及椭圆的对称性是解题的关键．