Question

18．已知F₁（-4，0），F₂（4，0）为椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的两个焦点，P在椭圆上，且△PF₁F₂的面积为$3\sqrt{3}$，则cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知条件利用椭圆定义和余弦定理列出方程组，再由三角形面积利用正弦定理求出1-cosθ=$\sqrt{3}$sinθ，由此利用sin²θ+cos²θ=1，能求出cosθ．

解答 解：∵F₁（-4，0），F₂（4，0）为椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的两个焦点，
P在椭圆上，且△PF₁F₂的面积为$3\sqrt{3}$，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}+2mn=100}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=2mncos∠{F}_{1}P{F}_{2}=64}\end{array}\right.$，
整理，得mn=$\frac{18}{1-cos∠{F}_{1}P{F}_{2}}$，
∵△PF₁F₂的面积为3$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{18}{1-cos∠{F}_{1}P{F}_{2}}$×sin∠F₁PF₂=3$\sqrt{3}$，
∴1-cos∠F₁PF₂=$\sqrt{3}$sin∠F₁PF₂，
∵sin²∠F₁PF₂+cos²∠F₁PF₂=1，∴cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、余弦定理的合理运用．