Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：AE⊥平面PCD；
（2）求PB和平面PAD所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）证明：CD⊥平面PAC，可得AE⊥CD，证明AE⊥PC，即可证明AE⊥平面PCD；
（2）证明∠APB为PB和平面PAD所成的角，即可求PB和平面PAD所成的角的大小．

解答 （1）证明：在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
故CD⊥PA．…（1分） 
由条件CD⊥AC，PA∩AC=A，…（2分）
∴CD⊥平面PAC．…（3分）
又AE?平面PAC，∴AE⊥CD．…（4分）
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．…（5分）
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．…（6分）  
又PC∩CD=C，
综上得AE⊥平面PCD．…（7分）
（2）解：在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，故PA⊥AB．…（8分）
又AB⊥AD，PA∩AD=A，则 AB⊥平面PAD，…（9分） 
故PB在平面PAD内的射影为PA，则∠APB为PB和平面PAD所成的角．…（10分）    
在Rt△PAB中，AB=PA，
故∠APB=45°．…（11分）
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．