Question

17．已知曲线x²-4y²=4，过点A（3，-1）且被点A平分的弦MN所在的直线方程为3x+4y-5=0．

Answer 1

分析 设两个交点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），利用点差法求得直线的斜率，进一步求出直线方程，然后验证直线与曲线方程由两个交点即可．

解答 解：设两个交点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
所以x₁²-4y₁²=4，x₂²-4y₁²=4，两式相减得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=4（y₁+y₂）（y₁-y₂），
又$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-1，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
所以直线的方程为y+1=-$\frac{3}{4}$（x-3），即3x+4y-5=0．
由点A（3，-1）在双曲线内部，直线方程满足题意．
∴MN所在直线的方程是3x+4y-5=0．
故答案为：3x+4y-5=0．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是充分运用数形结合的数学思想、方程的数学思想和转化的数学思想来解决较为复杂的综合题．