Question

12．记关于x的不等式$\frac{x-a}{x+1}$＜0的解集为P，不等式|x-1|≤1的解集为Q．
（1）若a=3，求P；
（2）若P∩Q=Q，求正数a的取值．

Answer 1

分析 （1）将a=3代入分式不等式等价转化，由一元二次不等式的解法求出解集P；
（2）由绝对值不等式求出解集Q，由a的符号，等价转化分式不等式后，由一元二次不等式的解法求出P，由条件和子集的关系求出正数a的取值．

解答 解：（1）当a=3时，不等式为$\frac{x-3}{x+1}＜0$，即（x+1）（x-3）＜0，
解得-1＜x＜3，即解集P={x|-1＜x＜3}．…（4分）
（ 2）由题意得，Q={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}，
由a＞0，不等式为$\frac{x-a}{x+1}＜0$，即（x+1）（x-a）＜0，
解得-1＜x＜a，即解集得P={x|-1＜x＜a}，…（8分）
又P∩Q=Q，所以Q⊆P，所以a＞2…（10分）

点评 本题考查分式不等式的解法及其转化，绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，以及子集的关系，考查转化思想，化简、变形能力．