Question

16．已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥2}\\{x≤1}\\{y≤2}\end{array}\right.$上的一个动点，则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{5}$，2$\sqrt{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，1]
• C． [$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 由题意作出可行域，由向量的坐标加法运算求得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$的坐标，把|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|转化为可行域内的点M（x，y）到定点D（-1，0）的距离，数形结合可得答案．

解答 解：∵点A（1，0），点M（x，y），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$=（1+x，y），
设z=|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{（1+x）^{2}+{y}^{2}}$，
则z的几何意义为M到定点D（-1，0）的距离，
由约束条件作平面区域如图，

由图象可知当M位于A（1，2）时，z取得最大值z=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
当M位于E时，z取得最小值z=$\frac{|-1+0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
即|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|的取值范围是[$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$]，
故选：C

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合、转化与化归等解题思想方法，考查了向量模的求法，是中档题．