Question

已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0的两侧，且a＞0且a≠1，b＞0，则

b

a-1

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线的斜率

专题：直线与圆

分析：由点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0的两侧，可得（2a-3b+1）（2+1）＜0，即2a+1＜3b．又a＞0且a≠1，b＞0，画出可行域．

b

a-1

=

b-0

a-1

表示可行域内的点（a，b）与点P（1，0）的斜率k．即可得出．

解答： 解：∵点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0的两侧，
∴（2a-3b+1）（2+1）＜0，即2a+1＜3b．
又a＞0且a≠1，b＞0，画出可行域：

b

a-1

=

b-0

a-1

表示可行域内的点（a，b）与点P（1，0）的斜率k．
当点M经过(0，

1

3

)时，kPM=

1 3 -0

0-1

=-

1

3

．
∴点M位于直线x=1的左侧时，k＜kPM=-

1

3

．
当点M位于直线x=1的右侧时，k＞

2

3

．
因此

b

a-1

的取值范围是(-∞，-

1

3

)∪(

2

3

，+∞)．
故答案是：(-∞，-

1

3

)∪(

2

3

，+∞)．

点评：本题考查了线性规划问题、直线的斜率计算公式及其单调性，考查了问题的转化能力和推理能力，属于难题．