Question

在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=

π

6

，C=

π

4

，且

CB

•

CA

=1+

3

，则a=

 

，b=

 

，c=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：利用三角形内角和公式求得B，可得sinB的值，由正弦定理求得b=（

6

+

2

）a，再根据

CB

•

CA

=1+

3

，求得a、b的值，利用余弦定理求得c的值．

解答： 解：在△ABC中，A=

π

6

，C=

π

4

，则B=

7π

12

，∴sinB=sin（

π

4

+

π

3

）=sin

π

4

cos

π

3

+cos

π

4

sin

π

3

=

2 + 6

4

．
由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，即

a

1 2

=

b

2 + 6 4

，∴b=（

6

+

2

）a．
再根据

CB

•

CA

=1+

3

，可得ab•cosC=a•（

6

+

2

）a•

2

2

=1+

3

，求得a=1，∴b=

6

+

2

．
再由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC=1+8+4

3

-2（

6

+

2

）•

2

2

=7+2

3

，∴c=

7+2 3

，
故答案为：1，

6

+

2

，

7+2 3

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和的正弦公式，两个向量的数量积的定义，属于基础题．