Question

已知函数f（x）=mx²-2x+1；
（1）若函数f（x）只有一个零点，求m的值；
（2）当m=1时，若f（x）的定义域为（-3，3]，求函数f（x）的单调区间与最值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当m=0时，函数f（x）=-2x+1只有一个零点，满足要求，当m≠0时，若函数f（x）只有一个零点，则△=0，综合讨论结果，可得m的值；
（2）当m=1时，f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，结合f（x）的定义域为（-3，3]和二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的单调区间与最值．

解答： 解：（1）当m=0时，函数f（x）=-2x+1只有一个零点，满足要求，
当m≠0时，若函数f（x）只有一个零点，则△=4-4m=0，解得m=1，
综上所述，若函数f（x）只有一个零点，则m=0或m=1；
（2）当m=1时，f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
∵f（x）的定义域为（-3，3]，
∴f（x）的单调减区间为（-3，1]，单调增区间为[1，3]，
当x=1时，函数f（x）取最小值0，无最大值．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数的零点，（1）易忽略m=0时，函数f（x）=-2x+1只有一个零点，满足要求，（2）易忽略-3∉（-3，3]，而错解为函数的最大值为16．