Question

给出以下命题：
①若

∫

b a

f（x）dx＞0，则f（x）＞0；
②

∫

2π 0

|sinx|dx=4；
③若函数f（x）为奇函数，则

∫

a -a

f（x）dx=0；
④函数f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则

∫

a 0

f（x）dx=

∫

a+T 0

f（x）dx．其中正确命题是

 

（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,简易逻辑

分析：根据微积分基本定理，微积分基本运算性质，即可得出结论．

解答： 解：①

∫

b a

f（x）dx表示封闭曲线的面积，由

∫

b a

f（x）dx=F（b）-F（a）＞0，得F（b）＞F（a），未必f（x）＞0；
②

∫

2π 0

|sinx|dx=2

∫

π 0

sinxdx=2（-cosx）

|

π 0

=4，正确；
③根据定积分的几何意义是函数图象与x轴所围成的封闭图形的面积的代数和，知函数f（x）在区间[-a，a]上的图象必定关于原点O对称，从而函数图象与x轴所围成的封闭图形的面积的代数和为0，则

∫

a -a

f（x）dx=0，正确；
④

∫

a 0

f（x）dx=F（a）-F（0），

∫

a+T 0

f（x）dx=F（a+T）-F（T）=F（a）-F（0），则

∫

a 0

f（x）dx=

∫

a+T 0

f（x）dx，正确．??
故答案为：②③④．

点评：本题考查微积分基本定理，微积分基本运算性质．属于基础题型．