Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）当a=-2时，判断函数f（x）零点的个数；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数的定义域：（0，+∞），
当a=-2时，f′（x）=，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，函数是减函数．
因为f（）=，所以此时在定义域上f（x）＜0，
s所以函数f（x）零点的个数为0．；
（Ⅱ）f′（x）=2ax-（a+2）+=，
①当a≤0时，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，函数是减函数．
②当0＜a＜2时，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
当x∈（，）时，f′（x）＜0，函数是减函数；
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数．
③当a=2时，f′（x）=，对一切x∈（0，+∞）恒成立，当且仅当x=1时f′（x）=0，函数是单调增函数，单调增区间（0，+∞）
④当a＞2时，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
当x∈（，）时，f′（x）＜0，函数是减函数；
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数．
综上：当a≤0时，函数f（x）的单调增区间（0，），单调减区间是（）．
当0＜a＜2时，函数f（x）的单调增区间（0，）和（），单调减区间是（）．
当a=2时，函数的单调增区间（0，+∞）
当a＞2时，函数f（x）的单调增区间（0，）和（），单调减区间是（）．
分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，通过a=-2时，求出函数的导函数，判断函数f（x）的极大值，然后推出函数的零点的个数；
（Ⅱ）通过求解函数的导函数，通过：当a≤0，0＜a＜2，a=2，a＞2，分别通过函数的导数列表，然后求函数f（x）的单调区间．
点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性函数的极值，考查分类讨论以及计算能力．