Question

如图，一块弓形薄铁片EAF，点M为

EF

的中点，其所在圆O的半径为4dm（圆心O在弓形EMF内）．∠EOF=

2π

3

，将弓形薄铁片截成尽可能大的矩形铁片ABCD（不计损耗）．AD∥EF且A、D在

EF

上，设∠AOD=2θ．
（1）求矩形铁片ABCD的面积与关于θ的函数解析式；
（2）当裁出的矩形铁片ABCD的面积最大时，求cosθ的值．

Answer 1

考点：在实际问题中建立三角函数模型

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）分类讨论，求出AB，AD，可得矩形铁片ABCD的面积与关于θ的函数解析式；
（2）求导，确定函数的单调性，即可求cosθ的值．

解答： 解：（1）设矩形铁片的面积为S，∠AOM=θ．
当0＜θ＜

π

3

时，AB=4cosθ+2，AD=8sinθ，S=AB×AD=16sinθ（2cosθ+1）．
当

π

3

≤θ＜

π

2

时，AB=8cosθ，AD=8sinθ，S=AB×AD=32sin2θ．
综上得，矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为S=

16sinθ(2cosθ+1)，0＜θ＜ π 3 32sin2θ， π 3 ≤θ＜ π 2

；

（2）当0＜θ＜

π

3

时，求导，得S′=16（4cos²θ+cosθ-2）．
令S′=0，得cosθ=

33 -1

8

．
记区间（0，

π

3

）内余弦值等于

33 -1

8

的角为θ₀（唯一存在）．列表：

θ	（0，θ0）	θ0	（θ0， π 3 ）
S′	+	0	-
S	增函数	极大值	减函数

又当

π

3

≤θ＜

π

2

时，S=32sin2θ在（

π

3

，

π

2

）上的单调减函数，
所以当θ=θ₀即cosθ=

33 -1

8

时，矩形的面积最大．

点评：本题考查函数模型的运用，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．