Question

求下列函数的定义域：
（1）f（x）=

4-x

+log₃（x+1）
（2）f（x）=

1-log2(4x-5)

（3）解关于x的不等式：log_a（x-1）≤log_a（x²+x-6）

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）（2）根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式组，解不等式组，可得函数的定义域．
（3）根据使不等式有意义的原则，求出x的范围，进而分当0＜a＜1时和当a＞1时，两种情况，结合对数函数的单调性，可将不等式转化为二次不等式，解得答案．

解答： 解：（1）要使函数f（x）=

4-x

+log₃（x+1）的解析式有意义，自变量x须满足：

4-x≥0 x+1＞0

，
解得：-1＜x≤4，
故函数f（x）=

4-x

+log₃（x+1）的定义域为（-1，4]；
（2）要使函数f（x）=

1-log2(4x-5)

的解析式有意义，自变量x须满足：
1-log₂（4x-5）≥0，
即log₂（4x-5）≤1，
即0＜4x+5≤2
解各：-

5

4

＜x≤-

3

4

，
故函数f（x）=

1-log2(4x-5)

的定义域为：（-

5

4

，-

3

4

]；
（3）要让不等式：log_a（x-1）≤log_a（x²+x-6）有意义，变量x须满足：

x-1＞0 x2+x-6＞0

，
解得：x＞2，
当0＜a＜1时，不等式：log_a（x-1）≤log_a（x²+x-6）可化为：x-1≥x²+x-6，
即x²-5≤0，解得：-

5

≤x≤

5

，
故此时不等式：log_a（x-1）≤log_a（x²+x-6）的解集为：（2，

5

]，
当a＞1时，不等式：log_a（x-1）≤log_a（x²+x-6）可化为：x-1≤x²+x-6，
即x²-5≥0，解得：x≤-

5

，或x≥

5

，
故此时不等式：log_a（x-1）≤log_a（x²+x-6）的解集为：[

5

，+∞）

点评：求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4）题要注意：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x-a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．