Question

9．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）设PD=AD=1，若M是PB的中点，求棱锥M-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABD中，由已知结合余弦定理可得BD⊥AD，再由线面垂直的性质可得BD⊥PD，由线面垂直的判定得到BD⊥平面PAD．从而可得PA⊥BD；
（Ⅱ）由M是PB的中点，得点M到平面ABC的距离是点P到面ABC的距离的一半，求出底面三角形的面积，代入体积公式求得棱锥M-ABC的体积．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=$\sqrt{3}AD$，
从而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD．
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．
又AD∩PD=D，
∴BD⊥平面PAD．
故PA⊥BD．
（Ⅱ）解：∵M是PB的中点，
∴点M到平面ABC的距离是点P到面ABC的距离的一半，
∵PD=AD=1，∴AB=2，
则${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}{S_{平行四边形ABCD}}={S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•AD•sin∠DAB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又∵PD⊥平面ABCD，
∴${V_{M-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{ABC}}•（\frac{1}{2}PD）=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面垂直的性质，考查了棱锥体积的求法，是中档题．