Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

6

3

，l₀为过点A（-2，0）和上顶点B₂的直线，下顶点B₁与l₀的距离为

4 5

5

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的动弦CD交l₀于M，若M为线段CD的中点，线段CD的中垂线和x轴交点为N（n，0），试求n的范围．

Answer 1

分析：（I）由离心率e=

6

3

，建立关于a，c的方程，下顶点B₁与l₀的距离为

4 5

5

建立关于b方程，再结合a²=b²+c²，求出a，b．
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），M（x₀，y₀），将点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），的坐标代入椭圆的方程，用作差的方法得到直线CD的斜率用中点M（x₀，y₀）的坐标表示的表达式，则可求出其中垂线用M的坐标表示的方程，因其中垂线与x轴交于点N，故令y=0，解出点N的纵坐标与M（x₀，y₀）的坐标关系，M的坐标的范围易求，则可求得点N的纵坐标n的取值范围．

解答：解：（I）直线l₀的方程为

x

-2

+

y

b

=1，
即bx-2y=-2b，又B₁（0，-b），
∴

|4b|

4+b2

=

4 5

5

，解得b=1，
又

6

3

=

c

a

=

a2-1

a

，得a²=1． ①
所以，椭圆方程为

x2

3

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
由题意直线CD的斜率存在，设为k，
则

x 2 1 3 + y 2 1 =1 x 2 2 3 + y 2 2 =1 ① x1+x2=2x0 y1+y2=2y0 k= y2-y1 x2-x1 ②

②-①得

x2+x1

3

+(y2+y1)•

y2-y1

x2-x1

=0
∴k=-

x0

3y0

（7分）
∴线段CD的中垂线方程为：y-y0=

3y0

x0

(x-x0)
令y=0，则n=

2

3

x0．（9分）
又联立l₀与椭圆方程

x-2y=-2 x2 3 +y2=1

，有7x²+12x=0，
得x=0、-

12

7

，
即有-

12

7

＜x0＜0，（11分）
∴-

8

7

＜n＜0（12分）

点评：本题在考查求椭圆方程的基础上，考查了求动点坐标范围的问题，解决这类问题的关键是把要求的量与已知的量建立起确定的联系，本题充分利用M是C，D的中点这一关系，设出C，D两点的坐标，用点差法得到了直线CD斜率用中点的坐标表示式，此为在知道直线与圆的两个交点的中点时研究问题时常的思路，然后再根据中垂线的几何特征得到中垂线的方程，求出其与x轴交点的坐标，达到了用M的坐标来表示N点的坐标的目的．此题对观察转化能力要求较高，需要学生有良好的探究分析的数学素养，是个难度较高的题．