Question

12．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点． 已知∠BAC=$\frac{π}{2}$，AB=2，AC=2，PA=2．求：
（1）三棱锥P-ABC的体积；
（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）先求出△ABC的面积，由此能求出三棱锥P-ABC的体积．
（2）取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，∠ADE是异面直线BC与AD所成的角（或其补角）．由此能求出异面直线BC与AD所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．
∠BAC=$\frac{π}{2}$，AB=2，AC=2，PA=2．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴三棱锥P-ABC的体积为V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PA=\frac{1}{3}×2×2=\frac{4}{3}$．
（2）如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，
∴∠ADE是异面直线BC与AD所成的角（或其补角）．
在△ADE中，DE=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，
cos$∠ADE=\frac{D{E}^{2}+A{D}^{2}-A{E}^{2}}{2DE•AD}$=$\frac{1}{2}$，
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．