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    【题目】如图，在棱长为2的正方体中， ， ， ， 分别是棱， ， ， 的中点，点， 分别在棱， 上移动，且.

    （1）当时，证明：直线平面；

    （2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

    【答案】（1）见解析；（2）.

    【解析】以为原点，射线， ， 分别为， ， 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得， ， ， ， ， ， ，则， ， ， ， .

    （1）当时， ，因为，所以，即，又平面，且平面，故直线平面.

    （2）设平面的一个法向量为，则

    由，得，于是可取.

    设平面的一个法向量为，由，得，于是可取.

    若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得，显然满足.

    故存在，使面与面所成的二面角为直二面角.

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    【题目】已知椭圆方程为，它的一个顶点为，离心率.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）设直线与椭圆交于， 两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.

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    （1）求椭圆的方程；

    （2）如图，过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线交椭圆分别于，且满足， ，求面积的最大值．

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    【题目】在平面直角坐标系中，已知圆经过， 两点，且圆心在直线上．

    （1）求圆的标准方程；

    （2）过圆内一点作两条相互垂直的弦，当时，求四边形的面积．

    （3）设直线与圆相交于两点， ，且的面积为，求直线的方程．

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    【题目】已知椭圆过点，且椭圆的离心率．

    （1）求椭圆的标淮方程；

    （2）直线过点且与椭圆相交于、两点，椭圆的右顶点为，试判断是否能为直角．若能为直角，求出直线的方程，若不行，请说明理由．

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    【题目】为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：

    并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：

    愿意购买这款电视机

    不愿意购买这款电视机

    总计

    40岁以上

    800

    1000

    40岁以下

    600

    总计

    1200

    （1）根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；

    （2）根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；

    （3）若按照电视机的使用时间进行分层抽样，从使用时间在和的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2台电视机的使用时间都在内的概率．

    附：

    0.100

    0.050

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    6.635

    10.828

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    【题目】已知椭圆：，该椭圆经过点，且离心率为.

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）设是圆上任意一点，由引椭圆的两条切线，，当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值.

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    【题目】已知函数.

    （1）求的单调区间；

    （2）若，求的取值范围.

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    【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.

    （1）求证：a，b，c成等比数列；

    （2）若b＝2，求△ABC的面积的最大值．

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