Question

【题目】已知椭圆过点，且椭圆的离心率．

（1）求椭圆的标淮方程；

（2）直线过点且与椭圆相交于、两点，椭圆的右顶点为，试判断是否能为直角．若能为直角，求出直线的方程，若不行，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不能为直角，证明见解析.

【解析】

（1）可得，．．即可得椭圆的标淮方程．

（2）对直线的斜率分两种情况讨论：①当直线垂直轴时，易得不能为直角；

②当直线不垂直轴时，可设直线代入椭圆方程，消去可得到关于的一元二次方程，再利用反证法，假设，得到与事实相矛盾，从而证明不能为直角.

（1）椭圆过点，，

椭圆的离心率，．

，．

椭圆的标淮方程为：.

（2）①当直线垂直轴时，易得，．

椭圆的右顶点为，，，

，是不为直角．

②当直线不垂直轴时，可设直线代入椭圆方程，

消去可得：，

设，，，，则有，，

又，，，，，

若是为直角：

则

，

解得，不符合题意．

故不能为直角．