Question

等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足 (如图1)．将△沿折起到△的位置,使二面角为直二面角,连结 (如图2)．

（Ⅰ）求证:平面；

（Ⅱ）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由．

Answer 1

 (1)因为等边△的边长为3,且,

所以,． 在△中,,

由余弦定理得． 因为,

所以．……………3分

折叠后有,因为二面角是直二面角,

所以平面平面  ,又平面平面,

平面,, 所以平面．………6分

(2)解法1:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为．

如图,作于点,连结、 ，

由(1)有平面,而平面,

所以,又, 所以平面_, 

所以是直线与平面所成的角  , ………………………8分

设,则,,

在△中,,所以 ,

在△中,, ,

由, 得  ,解得,满足,符合题意 

所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时  ………12分

解法2:由(1)的证明,可知,平面．

以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图 ,设, 则,, ,

所以,,,所以 ,

因为平面, 所以平面的一个法向量为 , ………………………9分

因为直线与平面所成的角为, 所以,

,  解得 ,

即,满足,符合题意,

所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时 ．………12分