Question

13．如图，矩形ORTM内放置5个边长均为$\sqrt{3}$的小正方形，其中A，B，C，D在矩形的边上，且E为AD的中点，则（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{BC}$）•$\overrightarrow{BD}$=-3．

Answer 1

分析 以小正方形边的方向为坐标轴建立平面直角坐标系，求出各向量坐标，代入计算．

解答 解：以A为坐标原点建立平面直角坐标系如图：
则A（0，0），E（0，$\sqrt{3}$），B（2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），C（3$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），D（0，2$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
∴（$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{BC}$）•$\overrightarrow{BD}$=6-9=-3．
故答案为-3．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立恰当的坐标系是解题关键．