Question

已知函数f（x）=kx+b（k≠0）的图象与x、y轴分别相交于点A、B两点，向量

AB

=（2，2），又函数g（x）=x²-x-6，且y=g（x）+m的值域是[0，+∞）．
（1）求k，b及m的值；
（2）当x满足f（x）＞g（x）时，求函数

g(x+2)+10

f(x)

的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出点A、B的坐标，根据向量相等即可求出k，b；根据二次函数的判别式与值域的关系即可求出m；
（2）利用基本不等式的性质即可求出．

解答：解：（1）∵函数f（x）=kx+b（k≠0）的图象与x、y轴分别相交于点A、B两点，
∴A(-

b

k

，0)，B（0，b），∴

AB

=(

b

k

，b)．
∵向量

AB

=（2，2），∴

b k =2 b=2

，解得

k=1 b=2

．
∵函数g（x）=x²-x-6+m的值域是[0，+∞），
∴△=1-4（m-6）=0，解得m=

25

4

．
（2）由（1）可知：f（x）=x+2，
∵f（x）＞g（x），∴x+2＞x²-x-6，
化为x²-2x-8＜0，∴（x-4）（x+2）＜0，∴-2＜x＜4．
∴函数

g(x+2)+10

f(x)

=

(x+2)2-(x+2)+4

x+2

=（x+2）+

4

x+2

-1，
∵0＜x+2＜6，∴(x+2)+

4

x+2

≥2

(x+2)× 4 x+2

=4，当且仅当x+2=2，即x=0时等号成立，
∴x=0时，

g(x+2)+10

f(x)

的最小值是3．

点评：熟练掌握向量相等、二次函数的性质及基本不等式的性质是解题的关键．