Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，B₁C、C₁D与底面ABCD所成的角分别为45°、60°，则长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的体积为（　　）

• A、

  7 7

  6

  π
• B、

  7

  3

  π
• C、

  4 7

  3

  π
• D、

  7

  6

  π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：先求出BC=DC=

3

，再由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC₁的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的体积公式即可得到，该球的体积．

解答： 解：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，B₁C、C₁D与底面ABCD所成的角分别为45°、60°，
∴BC=DC=

3

，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各顶点都在同一球面上，
∴球的一条直径为

7

，可得半径R=

7

2

，
因此，该长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的体积为V=

4

3

πR³=

7 7

6

π，
故选：A．

点评：本题给出长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，B₁C、C₁D与底面ABCD所成的角分别为45°、60°，求长长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的体积，着重考查了长方体的对角线公式、长方体的外接球和球的体积公式等知识，属于基础题．