Question

定义在R上的奇函数f（x），满足f（x）=f（x-3），f（-2）=0，则f（x）在区间（0，6）内零点个数（　　）

• A、至多4个
• B、至多5个
• C、恰好6个
• D、至少6个

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）=f（x-3）求得函数的周期为3，结合f（-2）=0依次求得f（1）、f（2）、f（3）、f（4）、
f（5）等于0，再在f（x）=f（x-3）中取x=

3

2

，可得f（

3

2

）=0，结合周期性可得答案．

解答： 解：由f（x）=f（x-3），得
f（x+3）=f（x），可知函数f（x）是周期为3的函数，
由f（-2）=0，可得f（1）=0，f（2）=-f（-2）=0，
f（3）=f（0）=0，f（4）=f（1）=0，f（5）=f（2）=0，
再在f（x）=f（x-3）中取x=

3

2

，可得f（

3

2

）=f（-

3

2

）=-f（

3

2

），
即f（

3

2

）=0，由周期性可得f（

9

2

）=0．
∴f（x）在区间（0，6）内零点个数至少6个．
故选：D．

点评：本题考查了函数的零点判定定理，考查了函数的奇偶性和周期性，是中档题．