Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足bcosA=（2c-a）cosB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=4$，\;\;\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理把已知等式化边为角，利用两角和的正弦化简即可求得角B的大小；
（2）由数量积为4可得ac的值，再由余弦定理整体运算求得a+c的值．

解答 解：（1）∵bcosA=（2c-a）cosB，
由正弦定理得sinBcosA=2sinCcosB-sinAcosB，
即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，
∵sinC≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$．
又B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）∵$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=4$，∴ca•cosB=4，得ac=8．
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=（a+c）²-24=16．
∴$a+c=2\sqrt{10}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．