Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{m{x^2}+mx+2}$的定义域是R，则实数m的取值范围是[0，8]．

Answer 1

分析 由题意知mx²+mx+2＞0在R上恒成立，因二次项的系数是参数，所以分m=0和m≠0两种情况，再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号，列出式子求解，最后把这两种结果并在一起．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{m{x^2}+mx+2}$的定义域为R，
∴mx²+mx+2≥0在R上恒成立，
①当m=0时，有2＞0在R上恒成立，故符合条件；
②当m≠0时，由$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{m}^{2}-8m≤0}\end{array}\right.$，解得0＜m≤8，
综上，实数m的取值范围是[0，8]．
故答案为：[0，8]．

点评 本题的考点是对数函数的定义域，考查了含有参数的不等式恒成立问题，由于含有参数需要进行分类讨论，易漏二次项系数为零这种情况，当二次项系数不为零时利用二次函数的性质列出等价条件求解．