Question

10．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ-2cosθ-6sinθ+$\frac{1}{ρ}$=0，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为（3，3），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标化简公式化简求解即可．
（2）把直线方程代入圆的方程化简可得t的二次方程，利用根与系数的关系，以及|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|求出|PA|•|PB|．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ-2cosθ-6sinθ+$\frac{1}{ρ}$=0，
可得：ρ²-2ρcosθ-6ρsinθ+1=0，
可得x²+y²-2x-6y+1=0，
曲线C的普通方程：x²+y²-2x-6y+1=0．
（2）由于直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
把它代入圆的方程整理得 t²+2t-5=0，∴t₁+t₂=-2，t₁t₂=-5，
|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=2$\sqrt{6}$．
∴|PA|+|PB|的值2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线的参数方程中参数t的几何意义，是基础题．