Question

设P（x，y）是曲线C：x²+y²+4x+3=0上任意一点，则

y

x

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由曲线C方程是x²+y²+4x+3=0，知曲线C是一个圆，圆心坐标是（-2，0），半径是1，关于x轴上下对称，设圆心为A，坐标原点为O，过O作直线OB与圆相切于B（取切点B在第三象限），直线OB与x轴的夹角为α，则

y

x

=tanα=

AB

BO

，由此入手能够求出

y

x

的取值范围．

解答： 解：∵曲线C方程是x²+y²+4x+3=0，即（x+2）²+y²=1，
故曲线C是一个圆，圆心坐标是（-2，0），半径是1，关于x轴上下对称，
设圆心为A，坐标原点为O，过O作直线OB与圆相切于B（取切点B在第三象限），
直线OB与x轴的夹角为α，则

y

x

=tanα=

AB

BO

，
∵AO=|-2|=2，AB=1，△AOB是直角三角形
∴BO=

22-12

=

3

，
故

y

x

=tanα=

AB

BO

=

1

3

=

3

3

，
∴α=

π

6

，
∵曲线C是一个圆，关于X轴对称，
∴α=-

π

6

时，直线

y

x

与直线OB关于x轴对称，此时切点在第二象限，
∴

y

x

=tanα=tan（-

π

6

）=-

3

3

．
故

y

x

的取值范围是[-

3

3

，

3

3

]．
故答案为：[-

3

3

，

3

3

]．

点评：本题考查直线与圆的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意圆的对称性的合理运用．